This code works with the numerics:

use strict;
use warnings;

my @names;
my @numerics;
my $rec = 0;
while (<DATA>){
   ($names[$rec], $numerics[$rec]) = split /:\s/,$_;
   $rec++;
}

for (sort {$numerics[$a] <=> $numerics[$b]} 0..$#numerics){
  print "$names[$_]\n";
}

__DATA__
Ansv. specialist-/ överläkare: 1
Ordinerade läkemedel: 1
namn: 1
Undersökningsresultat: 1
H - Med avd K74: 3
Anamnes: 1
Bidiagnos(er) enl. ICD-10: 2
Uppföljning: 1
Nybesök: 1
Journalförare: 1
ASIH-Äldrebo Älvsjö: 4
Huvuddiagnos enl. ICD-10: 2
Vårdtid: 1
Orsakskod/text: 1
Bedömning: 1
Epikris: 1
H - AVA M83 Medicin: 8
Vårdförlopp: 1
Utskriftsdatum: 1
[download]

Note - I got rid of the terminating " ." which interfers with the "number" to the right of the ":".