sub Prod {
    my( $i, $j )= @_;
    my $f= $i;
    $f *= $j   if  $i < $j;
    for my $p ( $i+1..$j-1 ) {
        $f *= $p*$p;
    }
    return $f;
}

sub Count {
    my( $parens, $len )= @_;
    return 1   if  1 == $len;
    return Prod($parens+1,$parens+$len)/Prod(1,$len)
}

##</code><code>##

(P+1)*(P+2)^2*(P+3)^2*(P+4)/1/2^2/3^2/4

##</code><code>##

    (P+L)!/P!*(P+L)!/P!*L/(P+1)/(P+L)/L!/L!
or
    [(P+L)!/P!/L!]^2*1*L/(P+1)/(P+L)

##</code><code>##

[(P+L)!/P!/L!]^2*1*L/(P+1)/(P+L)
  == [ C(P+L,P) ] * ??
where
?? == (P+L)!/P!/L!*1*L/(P+1)/(P+L)
   == (P+L)!/(P+L) /P!/(P+1) /L!*L
   == (P+L-1)! /(P+1)! /(L-1)!

##</code><code>##

    C(P+L,P)*C(P+L,P+1)/(P+L)
or
    C(P+L,L)*C(P+L,L-1)/(P+L)
or ...